空间直角坐标系

右手系

俯视$xOy$面，若$y$轴正方向可以通过将$x$轴正方向逆时针旋转$\frac{\pi}{2}$得到，则为右手系。

卦限

让三个坐标轴将空间分为$8$部分：三个坐标轴正方向确定的空间称为第一卦限，其正下方的空间为第五卦限。分别向这两个卦限的逆时针方向看，各个空间分别是：第二、三、四卦限；第六、七、八卦限。也可用罗马数字 $\text{I},\cdot\cdot\cdot,\text{VIII}$ 简记。

共线向量基本定理

设$\vec{a}\neq\vec{0}$，那么向量$\vec{b}$与$\vec{a}$共线的充要条件是：存在唯一实数$λ$，使得$\vec{b}=λ\vec{a}$。

向量的夹角

两向量在同一起点时，两条边围成的较小的角为向量的夹角，记作$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$。$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})\in[0,\pi]$。

特别地，$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=0$或$\pi$时，称两向量平行（或共线）；$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=\frac{\pi}{2}$时称两向量垂直。

向量的方向角

非零向量分别与$x,y,z$轴的正方向的夹角为向量的方向角，通常记作$\alpha,\beta,\gamma$。

方向余弦

方向角的余弦值称为方向余弦。若向量$\vec{a}=(x,y,z)$，则：

$$\cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \quad \cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \quad \cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|}$$

并且：

$$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$$

另外，$(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{1}{|\vec{a}|}(x,y,z)=\boxed{\vec{e}_{\vec{a}}}$。其中$\vec{e}_{\vec{a}}$是与$\vec{a}$同方向的单位向量。

向量的投影

定义

设有两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，夹角为 $\theta$。将 $\vec{a}$ 的终点向 $\vec{b}$ 所在的直线作垂线，从 $\vec{b}$ 的起点到垂足的这段向量，就是投影，记作$\text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a}$或 ${(\vec{a})}_{\vec{b}}$。

$$\text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a} = |\vec{a}| \cos \theta$$

用坐标计算

$$\text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$

投影向量

$$\vec{a}_{\text{proj}} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$$

性质

投影满足分配律，即 $(\vec{a}+\vec{c})$ 在 $\vec{b}$ 上的投影等于各自投影之和。

数量积（点积、内积）

以三维为例，对于两个非零向量$\vec{a},\vec{b}$：

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\text{Prj}_{\vec{a}}\vec{b}=|\vec{b}|\text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a}$。

$\vec{a}\cdot\vec{b}=(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$。

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta$，则$\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert a\vert\vert b\vert}=\dfrac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdot\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$，其中$\theta$为$\vec{a},\vec{b}$夹角。

$a\bot b\Leftrightarrow\theta=\dfrac{\pi}{2}\Leftrightarrow a\cdot b=\vert a\vert\vert b\vert\cos\theta=0\Leftrightarrow a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0$。

向量积（叉积、外积）

对两个向量$\vec{a},\vec{b}$，其叉乘记作$a\times b$，定义为：

  1. 一个向量。

  2. 该向量模为$\vert a\vert\vert b\vert\sin\theta$（以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为边的平行四边形的面积），其中$\theta$是$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角。

  3. 该向量具有这样的方向，使得：$\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}\times\vec{b}$形成的三元组符合右手系。
    也可以这样理解：叉积的结果携带了两个属性，即面积和手性垂直面的单位向量。

向量积的性质

  1. 夹角：$\vec{a}//\vec{b}\Leftrightarrow\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}=\dfrac{a_z}{b_z}\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=0\Leftrightarrow\theta=0或\pi$。
    分母当然不能为$0$，懒得写整式了。

  2. 反身：$\vec{a}\times\vec{a}=0$

  3. 手性：$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$

  4. 标量乘法结合律：$(k \vec{a}) \times \vec{b} = k (\vec{a} \times \vec{b})$

  5. 加法分配律：$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

几何意义

根据定义，叉积的模是两向量所围的平行四边形的面积。

计算方式

天花乱坠的推导

垂直的充要条件是数量积为$0$，这会得到两个方程：

  • $a_x c_x + a_y c_y + a_z c_z = 0$

  • $b_x c_x + b_y c_y + b_z c_z = 0$

接下来：

  1. 任选一个未知数作为自由变量，比如 $c_z = t$。

  2. 两个方程变成：$\begin{cases} a_x c_x + a_y c_y = -a_z t \\ b_x c_x + b_y c_y = -b_z t \end{cases}$

  3. 这是一个二维线性方程组，解得：$c_x = \frac{-a_z t b_y + b_z t a_y}{a_x b_y - a_y b_x},\quad c_y = \frac{-b_z t a_x + a_z t b_x}{a_x b_y - a_y b_x}$

  4. 最后得到：$\vec{c}_0 = (c_x, c_y, t)$

  5. 方向归一化，然后乘上 $|\vec{a}\times\vec{b}|$就得到真正的叉积向量：$\vec{a}\times\vec{b} = \frac{\vec{c}_0}{|\vec{c}_0|} |\vec{a}\times\vec{b}|$

不易记忆的精华

由上，归纳出：

$$\boxed{\vec{a}\times\vec{b} =(a_y b_z - a_z b_y,\quad a_z b_x - a_x b_z,\quad a_x b_y - a_y b_x)}$$

相对容易的记法

可用“行列式”来简记上述公式。

$$\vec{a}\times\vec{b}=\left\vert\begin{array}{ccc} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array}\right\vert$$

可以直接按第一行展开，也可以用对角线法展开然后再整理。

邪修啊

[!NOTES] 高中的记忆···
高中讲过一招快速求法向量。操作步骤是这样的：分两行把两个向量坐标写两遍，划去首尾行，然后逐行地，求与下一行形成的主副对角线的差。每行求得的结果恰好分别是$x,y,z$坐标。

$$\begin{array}{} > \bcancel{x_a} & y_a & z_a & x_a & y_a & \bcancel{z_a} \\ > \bcancel{x_b} & y_b & z_b & x_b & y_b & \bcancel{z_b} > \end{array}$$


是的，这就是叉乘。我真服了高中的邪修了，还是这个好记哈。

混合积

对三个向量$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$，其混合积定义为$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$（或$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$），记作$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]$。

[!NOTES] 为什么 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}=\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ ？！
从几何上，实际上就做了两件事：求面积，投影出高然后乘起来。
只要向量的环绕顺序不变（$\mathbf{a}→\mathbf{b}→\mathbf{c}$），空间的手性就不变。求哪个面的面积和它的高并不重要。

几何意义

混合积的大小表示在空间中三个向量围成平行六面体的体积。

混合积的符号表示在空间中三个向量的手性：即符合右手系为正，反之则为负。

计算方式

显然，混合积的几何意义与三阶矩阵的行列式高度重合。所以很自然地有：

若向量$\vec{a}=(x_a,y_a,z_a),\vec{b}=(x_b,y_b,z_b),\vec{c}=(x_c,y_c,z_c)$，则：

$$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}] = \begin{vmatrix} x_a & y_a & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\ x_c & y_c & z_c \end{vmatrix}$$