向量及其运算
空间直角坐标系 右手系 俯视$xOy$面，若$y$轴正方向可以通过将$x$轴正方向逆时针旋转$\frac{\pi}{2}$得到，则为右手系。 卦限 让三个坐标轴将空间分为$8$部分：三个坐标轴正方向确定的空间称为第一卦限，其正下方的空间为第五卦限。分别向这两个卦限的逆时针方向看，各个空间分别是：第二、三、四卦限；第六、七、八卦限。也可用罗马数字 $\text{I},\cdot\cdot\cdot,\text{VIII}$ 简记。 共线向量基本定理 设$\vec{a}\neq\vec{0}$，那么向量$\vec{b}$与$\vec{a}$共线的充要条件是：存在唯一实数$λ$，使得$\vec{b}=λ\vec{a}$。 向量的夹角 两向量在同一起点时，两条边围成的较小的角为向量的夹角，记作$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$。$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})\in[0,\pi]$。 特别地，$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=0$或$\pi$时，称两向量平行（或共线）；$(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})=\frac{\pi}{2}$时称两向量垂直。 向量的方向角 非零向量分别与$x,y,z$轴的正方向的夹角为向量的方向角，通常记作$\alpha,\beta,\gamma$。 方向余弦 方向角的余弦值称为方向余弦。若向量$\vec{a}=(x,y,z)$，则： $$\cos \alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \quad \cos \beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \quad \cos \gamma = \frac{z}{|\vec{a}|}$$并且： $$\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$$另外，$(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{1}{|\vec{a}|}(x,y,z)=\boxed{\vec{e}_{\vec{a}}}$。其中$\vec{e}_{\vec{a}}$是与$\vec{a}$同方向的单位向量。 向量的投影 定义 设有两个非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，夹角为 $\theta$。将 $\vec{a}$ 的终点向 $\vec{b}$ 所在的直线作垂线，从 $\vec{b}$ 的起点到垂足的这段向量，就是投影，记作$\text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a}$或 ${(\vec{a})}_{\vec{b}}$。 $$\text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a} = |\vec{a}| \cos \theta$$用坐标计算 $$\text{Prj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$$投影向量 $$\vec{a}_{\text{proj}} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$$性质 投影满足分配律，即 $(\vec{a}+\vec{c})$ 在 $\vec{b}$ 上的投影等于各自投影之和。 ...